next »

[~Empathy~]

Mi-a venit în timp ce mă plimbam pe stradă o idee de problemă matematică.

Fie:

f(x) = SUM{k = 0..+inf}[1 / |(exp(k) - x^2)|]

o funcție definită pe submulțimea maximă posibilă din |R. Prin |x| notăm valoarea absolută a lui x.

Să se demonstreze existența sau inexistența limitei:

lim{x -> +inf}[f(x)]

și în caz de existență să se calculeze valoarea l a limitei.

În poza următoare este un grafic a aproximației funcției pentru kmax = 16, și xmax = 100.



Se observă (și se demonstrează ușor matematic) că asimptotele funcției sunt din ce în ce mai îndepărtate. De asemenea se vede vizual și e oarecum clar intuitiv că limita aia, dacă există, este 0 (zero).

Problema apare că asimptotele alea există oriunde, și la infinit, prin urmare nu putem demonstra că limita există cu definiția "clasică". Nu putem construi o vecinătate a lui +inf, astfel încât pentru un x0 corespunzător, cu y0 = f(x0), f(x) < y0, x > x0. Totuși, pentru că nu putem construi practic nu înseamnă că nu există.

O chestie mișto este că exp(x) tinde la infinit mult mai repede decât x^2, cu alte cuvinte:

lim{x -> +inf}[x^2/exp(x)] = 0

Rezultat foarte bun, pentru că înseamnă că la infinit, numitorul din fracția noastră (exp(k) - x^2) este +inf, ergo fracțiile sunt 0, după cum ne așteptăm și după cum se vede din desen.

Idei, sugestii?

[gheorghe]

Ai pus si umbre la screenshot... deci clar trebuie sa fie corect ce zici tu.

[undergraver]

Functia nu e f(x) e f(x,k) ...
Mai trebuie umblat putin la definitia ei ca sa fie f(x) - de exemplu fixat k.
Punctele alea unde apar asimptotele verticale sunt evident +/-sqrt( exp(k) ). Pentru k maxim (kmax) fixat functia are cateva puncte (2kmax, kmax pozitive si kmax negative) unde apar asimptotele, dupa aia ea se va duce linistita catre 0.

Daca stau si ma gandesc nu e nici macar functie e o combinatie bizara intre functie si serie.